很多人爱上数学是从这个“宇宙第一公式”开始的！！！

  美在哪里?美在它把5个数学常数融合于一个简单的等式中。由此可见数学常数的重要性。所以我们就先讲讲这个最美公式的故事,探讨数学之美。

  科学中处处可见数学美,人们也常说“数学之美”。数学美是什么?我们也可以体会花美水美风景美,人美画美艺术美,怎么样才可以体会到数学的美呢?

  比较艺术和花草风景而言,数学美更为抽象得多。例如,许多动物的眼睛也能分辨各种颜色,想必它们也能在某些特定的程度上欣赏大自然的美景,虽然我们没办法直接知道它们对美的“感受”,但是从“许多雄性动物”很美这个客观事实,可以猜测动物对“美丑”是有辨别能力的。

  不过,动物不懂人类语言文字,更不懂数学语言及数学公式的内涵意义,不可能对数学公式产生美感,因而,它们不可能欣赏数学美。

  对数学美的欣赏则与一个人的教育程度、数学素养有关。即使是学理工科的,也并不是任何一个人都能欣赏数学之美。换言之,没有一定数学修养的人,看到的只是一大堆繁杂讨厌的数学公式,哪有什么“美”呢?

  从现代生物学的角度,科学家们用科学实验的方法测试和证明了:艺术欣赏的“美感”之来源与大脑活动有关。那么,数学公式能激发懂得它们的数学学者们的“美感”吗?科学家们也用实验证明了这一点。

  例如,知名英国数学家迈克尔·阿蒂亚爵士(图3.1.1),在2014年曾经利用磁共振成像技术对大脑扫描,进行了一个实验,结果证实了:数学家对数学的美感,与人们对音乐绘画等艺术产生的美感,是来源于脑部的同一个区域:前眼窝前额皮质(mOFC)A1区。

  阿蒂亚是一位黎巴嫩裔英国数学家,他在1966年荣获菲尔兹奖,2004年获阿贝尔奖,被誉为当代最伟大的数学家之一。

  阿蒂亚在实验中提供了60个包含许多领域的数学公式,让16位数学家受测,分别对这些公式从丑到美打分数,并同时对他们进行脑部扫描,测量他们产生数学美感时大脑中情绪活跃的区域位置和激励程度。作者们在论文中说明了实验分析的结果,显示数学或抽象公式不但激发美感,使人产生精神上的亢奋,而且在大脑中和艺术美感共享相同的情绪区域!见图3.1.2。

  阿蒂亚等人的实验不仅为“数学之美”提供了生物学的证据,而且结果显示人们对数学公式“美丑”的观念也十分有意思。

  参与实验的这些数学专业技术人员,在提供给他们的60个公式中,评选出了一个“最丑的”和一个“最美的”数学表达式。

  最丑的就没什么可评论的了,那是一个看起来十分复杂令人费解的表达式,用无穷级数来计算1/π。况且,这只是从60个式子中选出来的,如果给出更多的选择,一定还有更复杂、更丑的!

  最美的公式被称为“欧拉恒等式”,当然也仅仅是从60个式子中脱颖而出的。不过,欧拉恒等式一直受到科学家们的好评,例如,美国物理学家理查德·费曼就曾经称该恒等式为“数学最奇妙的公式”。奇妙在哪里呢?因为它把自然界5个最基本、最重要的数学常数e、i、π、1、0极简极美地整合为一体。其中e是自然对数的底,i是虚数的单位,π是圆周率,剩下的1和0,在数学上的地位就不言自明了。奇妙之处在于,凭什么把这5个常数如此简洁地联系在一起?其中还包括了像π=3.141592653…,e=2.718281828…,这种奇怪的、无限而又不重复的超越数。看起来实在太神奇了。

  欧拉恒等式在数学领域产生了广泛影响,如三角函数、傅里叶级数、泰勒级数、概率论、群论等均有它的倩影。此外,在物理学等科学中,以及在工程界,也都有广泛应用。

  从评选结果还可发现,大多数数学家是把朴素简单看作数学之美的重要属性。简洁,也是科学理论的重要属性。

  科学理论需要凝练和浓缩,这是简洁之美。把复杂的事情简单化,是一种本领和智慧。公式的简约不等于简单,是“大智若愚,大道至简,用简去繁,以少胜多”哲学之数学体现。

  但是,完全不懂数学的人是无法欣赏欧拉恒等式之美的。因此,我们第一步需要知道公式中e、i、π符号所表达的意义,也顺便了解一下欧拉其人,才会真心赞叹这简洁公式之慑人之美!

  莱昂哈德·欧拉(图3.1.3)出生于瑞士巴塞尔的一个牧师家庭。谁也没想到,这个拥有聪明脑袋瓜的男孩长大后改变了数学,影响了人类文明。

  欧拉是一个天才!他自小喜欢数学,不满10岁就开始自学《代数学》,年仅13岁便考入了巴塞尔大学,跟着约翰·伯努利学习数学和物理。在数学路上一帆风顺的欧拉笃信上帝,据说他曾在俄国叶卡捷琳娜大帝的宫廷上,向无神论者挑战时,就搬出了他的“上帝公式”:

  欧拉老年时因白内障近乎双眼失明,却仍然在数学园里辛勤耕耘,直到生命尽头。1783年9月18日,欧拉倒在地上,抱着自己的头说道:“我死了。”一代大师停止了生命,但他的数学永存!

  我们言归正传,返回到最美公式。以上曾经说过,这个公式用一个等号将5个常数联系到一起。以后我们还会分别介绍这些神奇的数学常数的来龙去脉,这里只是简略说明:其中的π是我们熟悉的圆周率,圆周长与直径之比;i叫作虚数,是-1,我们也早就见识过。被称为自然常数的e,对非理工科的读者可能稍微生疏一点,但不管怎么样,e=2.71828…,是一个有具体数值的常数,可以用一个无限的序列(式(3.1.1))将后面的数字一个一个算出来!所以,看得见摸得着,并不使人迷惑。

  照我看来,欧拉公式中最令人不解之处是ei,把一个虚数写到幂函数的指数中是啥意思啊?我们一般了解的数学知识告诉我们:幂函数32的意思是2个3相乘,如果是e2吧,也并不难懂,不过近似是2.71828×2.71828,2个e相乘而已,即使将指数扩展到分数、小数,也可以用乘方的逆运算,开方来理解。但是,对ei而言:“i个e相乘”,就有点莫名其妙了!

  数学家严肃认真且严格谨慎,不会莫名其妙写出ei。实际上,当年欧拉写出这个函数时,并不是基于幂函数表达的原始意义,而是一个新“定义”的函数!

  自然常数e的定义(式(3.1.1))是约翰·伯努利的哥哥雅各布·伯努利给出的。欧拉发展了这个思想,给出指数函数的定义:

  这里的exp(x),被欧拉称为“指数函数”,由式(3.1.2)所定义。表面上看,exp(x)与数值2.71828没什么关系。然而,比较式(3.1.1)和式(3.1.2),就不难明白它们的密切关联了。并且,指数函数满足基本的指数恒等式,因此,一般也将这个指数函数的定义记为ex:

  既然指数函数是用式(3.1.2)或式(3.1.4)定义的,将x=i或x=iπ代入式(3.1.2)中后,eiπ的意义就不难理解了。

  更进一步,将三角函数cos(x)及sin(x)的泰勒展开式代入上面的式(3.1.4)中,可以得到:

  这是欧拉公式的一般形式,它将三角函数与复指数函数关联起来,再将x=π代入式(3.1.5),则可得出欧拉恒等式——最美公式。

  《数学的历程：从泰勒斯到博弈论》是一部数学启蒙和通识教育佳作，深受数学爱好者和数学老师喜爱。从历史的角度，勾勒出一条数学发展的脉络，阐述了重要数学思想概念产生的背景原因和来龙去脉，剖析数学定律的底层逻辑，学习数学家的思维方法。探索了有趣的数学难题以及古代中国的算学、数学悖论、奇妙的π、囚徒困境等话题，生动讲述了数学大师的逸闻趣事，让读者感受深藏的数学之美、思维的乐趣，以及科学家精神。全书实例丰富、解释通俗、表述流畅、寓意深刻。阅读它不需要太高深的数学知识，但无论是数学高手还是初学者都能从中获得乐趣和启发，开阔眼界，增长见识，从而更好地把握数学的特征与规律。

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